问题描述

Sleeping Cup's Jump 是一种特殊的舞蹈动作，舞者需要使用尽量少的移动次数在二维舞台上从点 $(x_1, y_1)$ 移动到 $(x_2, y_2)$。每次移动可以选择一个实数 $d$ 和一个角度 $\phi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，并从起始位置 $(x, y)$ 移动到目标位置 $(x + d \times \phi, y + d \times \tan \phi)$。

数学性质分析

移动方式的数学表达

每次移动的位移向量为：

• $d \times x = d \times \phi$
• $d \times y = d \times \tan \phi$

关键性质推导

将两式相除得：$\frac{d \times y}{d \times x} = \frac{\tan \phi}{\phi}$

由于 $\phi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 且 $\phi \neq 0$，有以下性质：

1. 符号相同：$\tan \phi$ 和 $\phi$ 同号，因此 $d \times x$ 和 $d \times y$ 必须同号
2. 比值大于1：在 $\phi \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 范围内，$\frac{\tan \phi}{\phi} > 1$，因此 $\lvert d \times y \rvert > \lvert d \times x \rvert$

最小移动次数判断

0 次移动

当起点和终点相同时，不需要移动： $d \times x = 0$ 且 $d \times y = 0$

1 次移动

当位移满足以下条件时，可以通过一次移动到达：

1. $d \times x \neq 0$
2. $d \times y \neq 0$
3. $\lvert d \times y \rvert > \lvert d \times x \rvert$
4. $d \times x$ 和 $d \times y$ 同号

2 次移动

其他所有情况都需要两次移动，包括：

1. dx 或 dy 为 0
2. $\lvert d \times y \rvert \le \lvert d \times x \rvert$
3. $d \times x$ 和 $d \times y$ 异号

AC code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    freopen("tangent.in", "r", stdin);
    freopen("tangent.out", "w", stdout);
    long long x1, y1, x2, y2;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
    long long dx = x2 - x1;
    long long dy = y2 - y1;
    if (dx == 0 && dy == 0) {
        cout << 0 << endl;
    } else if (dx != 0 && dy != 0 && (dx > 0 && dy > 0 || dx < 0 && dy < 0) && abs(dy) > abs(dx)) {
        cout << 1 << endl;
    } else {
        cout << 2 << endl;
    }
    return 0;
}